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第26章 趣味数学(3)

威尔斯出生于英国牛津,小时候听说过“一只会下金蛋的母鸡”故事后,就对费尔马大定理着了迷,立志征服这座无人登顶的数学王国的高峰。就是这条奇妙的定理将他引入数学的殿堂,他选择“数学”作为他的职业。儿时的梦想,虽然带有绚丽的光环,但是,对于已成为数学家的威尔斯博士来说,却是一个耀眼的灯塔,他拟订了一套切实可行的研究方案来实现他童年的梦想——证明费尔马大定理。不过,所有这些研究工作都是极其秘密地进行的,就是在他宣布证明了费尔马大定理的学术会上,人们开始也未能察觉到他报告的最终目标。

威尔斯的工作公布后,很快受到了国际上一些最着名的数学家的喝彩,大多数人认为威尔斯是一位严肃的数学家,他的证明基础是可靠的。

人们正翘首期盼着欢呼费尔马大定理获得证明的最后时刻的到来!

但是,1993年12月4日,威尔斯教授宣布,他于6月对费尔马大定理的证明中“有漏洞”。所以,费尔马大定理仍在证明中!(见《中国数学会通讯》1994年第二期)读者同学,你看了这个故事,有什么想法呢?

让我们听听数学大师希尔伯特的一番话:“正如人类的每项事业都追求确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志和力量,发展新方法和新观点,达到更广阔和自由的境界。”

我们了解一些数学问题的历史和意义,可以提高对数学的认识,可以激励自己像前人那样顽强学习,为人类进步事业作出贡献。

蜜蜂问题

在美国数学界广泛流传着一个解蜜蜂问题的故事。

据说,在一次鸡尾酒会上,许多数学家聚集一堂,欢声笑语,洋溢着轻松愉快的气氛。着名的数学大师、“电子计算机之父”冯·诺依曼端着酒杯,和同行们说说笑笑。一位客人看到冯·诺依曼有时流露出心不在焉、若有所思的样子,知道这是科学家的“职业病”:搞惯了科学研究,做惯了思维“体操”,头脑里不想点问题便好像丢了什么东西似的。于是,他想出了一个问题。

“你好,冯·诺依曼先后,想做游戏吗?”

“游戏?”他指了指头脑,说:“它正想活动活动,做做思维游戏呢!”

“我这里有一个蜜蜂问题。两列火车相距100英里,在同一轨道上相向行驶,速度都是每小时50英里。火车A的前端有1只蜜蜂以每小时100英里的速度飞向火车B,遇到火车B以后,立即回头以同样的速度飞向火车A,遇到火车A以后,又回头飞向火车B,速度始终保持不变,如此下去,直到两列火车相遇时才停止。假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计,那么,这只蜜蜂(冯·诺依曼插话:好一只超级蜜蜂!)一共飞了多少英里的路?”

冯·诺依曼,这位20世纪最杰出的数学家,心算能力极强,不用笔和纸就能熟练自如地进行计算。据说,他6岁就能心算8位数的除法,十来岁时就掌握了微积分,中学时在匈牙利数学竞赛中名列第一。他的老师、着名的数学家、教育家波利亚回忆说:“约翰(冯·诺依曼的名字)是我惟一感到害怕的学生,如果我在讲演中列出一道难题,那么当我讲演结束时,他总会手拿一张潦草写成的纸片,说他已把难题解出来了。”

这时,把解答有趣的数学题作为一种积极的休息,作为参加一种游戏,冯·诺依曼没有用简单的算术方法,而是别出心裁地采用了高等数学中一个巧妙的解法,很快地解出了这个问题。

如果你直接从蜜蜂往返飞行的路程去求解,那就很复杂了;而间接用蜜蜂飞行的时间来求解,那非常简单。

因为两列火车相距100英里,以每小时50英里的速度相向而行,所以,它们相遇时所经过的时间是1小时。而蜜蜂在这一段时间内,不停地在两列火车之前往返飞行,蜜蜂飞行的全部时间正好是两列火车相遇的时间。所以,蜜蜂在这1小时内,正好飞行了100英里。

有趣的是,我国着名数学大师苏步青教授,在一次出国访问时,脱口而出地解出了一位外国数学家提出的和“蜜蜂问题”类似的“猎狗问题”:

猎人甲带着他的猎狗到120公里外的猎人乙家去作客。当甲出发时,乙也正好走出家门去迎接甲。甲每小时走10公里,乙每小时走20公里,猎狗每小时走30公里。当猎狗先与乙相遇后,又返回来迎接甲,与甲相遇后,再转身去迎接乙。这样,猎狗就在甲、乙之间往返奔跑。

问:当甲、乙相遇时,猎狗一共跑了多少公里路?

因为猎狗往返奔跑的全部时间,正好是猎人甲、乙相遇的时间:

120÷(10+20)=4(小时),所以,猎狗一共跑的路程是30×4=120(公里)。

数字“冰雹”

让我们先来做一个游戏:

你随便取一个自然数,如果它是偶数,就用2去除它;如果它是奇数,将它乘3之后再加1,这样反复运算,你会发现,最终必然是1。

比如,取自然数N=6。6是偶数,要先用2除,6÷2=3;3是奇数,要将它乘3之后再加1,3×3+1=10;按照上述法则继续往下做:10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1,最后得1。

用一个大一点的数运算,结果还是这样吗?

取自然数N=16384。你会发现这个数连续用2除了14次,最后还是得1。

上面用的两个数都是偶数,奇数是不是这样的呢?

取自然数N=19。按照上面的法则来算,可以得到下面一串数字:

19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

经过20步,最终也变为最小的自然数1。

这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。一位美国数学家说:“有一个时期,在美国的大学里,它几乎成了最热门的话题。数学系和计算机系的大学生,差不多人人都在研究它。”人们通过大量演算发现最后结果总是得1。于是,数学家便提出如下一个猜想:

对于任一个自然数N,如果N是偶数,就把它变成N2;如果N是奇数,就把它变成3N+1。按照这个法则运算下去,最终必然得1。

这个猜想最初是由哪位数学家提出来的,已经搞不清楚了,但似乎并不古老。20世纪30年代,德国汉堡大学的学生考拉兹就研究过它。1952年一位英国数学家独立发现了它。几年之后它又被一位美国数学家所发现。自20世纪50年代起,这个问题一再引起人们的广泛兴趣。

在日本,这个问题最早是由角谷静夫介绍到日本的,所以日本人称它为“角谷猜想”。1960年角谷静夫初次听到这个问题,他说:“有一个月,耶鲁大学每一个人都在研究这个问题,但没有任何结果。我到芝加哥大学提出这个问题之后,也出现了同样现象。有人开玩笑说,这个问题是企图减缓美国数学进展的一个阴谋。”足见这个问题的吸引力之大。

人们争先恐后去研究这个猜想,一遍遍地进行运算,在运算过程中发现,算出来的数字忽大忽小,有的计算过程很长。比如从27算到1,需要112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴,在高空气流的作用下,忽高忽低,遇冷结冰,体积越来越大,最后变成冰雹落了下来,而演算的数字最后也像冰雹一样掉了下来,变成了1。因此人们又给这个猜想起了个形象的名字——冰雹猜想。

巧称苹果

秋天到了,苹果园里,树上硕果累累,一派丰收景象。

小明的叔叔是林场的工程师,星期天加班。小明要叔叔带他到果园去玩。

小明和叔叔来到苹果质量检验处。叔叔仔细察看了职工们的工作:把摘下的苹果分类,检验,装箱。

“叔叔,一箱苹果有多重?”小朋问。

“四五十公斤吧,重量不一定相同。”叔叔说。

“咱们称一称吧!”小明要求道。

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