伽利略通过比萨斜塔上的重物落体实验，击败了他的对手，否定了亚里士多德的“物理下落速度与重量成正比”的论点。但他对落体运动的研究却没有到此为止。因为他在落体实验中观测到，自由落体运动是越落越快的，他觉得落体的下落速度、距离和时间之间好像存在某种规律性的关系。那么它们之间究竟是一种什么关系呢？这就是他下一步所要研究的，他要把这种关系用数学表达式表示出来。多年来他仔细地从理论和实验两方面进行了探索和研究，一直苦苦地思索这个问题。
经过冥思苦想，他终于想出了一个好办法。
他首先设想自由落体运动是匀加速运动。所谓匀加速运动，伽利略把它定义为：从静止开始，在任何相等的时间内速度的增加量都相等的运动。这在当时是具有开创性的。因为当时人们总认为落体从静止开始是“一下子”就获得很大速度的。
为了求证自由下落的距离和时间的关系，伽利略首先证明了定理Ⅰ：一个从静止开始做匀速运动的物体，经过一段距离所用的时间和此物体匀速地通过同样的距离所用的时间相同。只要这匀速运动的速度等于加速运动的初速和末速的平均值。
伽利略十分巧妙地证明了这一定理。他的想法是：在匀加速运动中，速度在不断增大，每时每刻都有不同的速度，为了表示速度变化情况，他画了一个三角形，设物体从C点出发到达D点，通过这段距离所有的时间用线段AB表示，作垂直于AB的线段：EB表示这段时间内的末速度。作直线AE，那么所有从AB上等距离的点引出的平行于BE的而终止到AE上的线段表示相隔相等时间的速度数值。这些速度数值是和时间成正比的。要把各时刻的速度都表示出来，就要从AB线上各点引出无数条平行线到AE线上终止。这样三角形AEB的面积就可代表在AB这段时间内通过距离CD时所有速度的总和。
取EB的中点F，引直线FG平等于BA，GA平行于FB，由此形成一矩形AGFB。从AB上各点引平等于BF的直线到FG线终止，这些平行将表示一个匀速运动的速度，它等于匀加速运动的初速和末速度的平均值。那么矩形AGFB的面积将代表这段时间内匀速运动中所有的速度的总和。由于三角形AEB和矩形AGFB的面积相等，因此这两个运动在同一时间内的速度总和是相等的。也就是它们所经过的路程相等了。伽利略如此巧妙地把物理现象用数学方法形象地表示出来，可谓独具匠心，证明结论是可信的。
在定理Ⅰ的基础上，伽利略又用类似的方法证明了定理Ⅱ：由静止下落做匀加速运动的物体所经过的距离和时间的平方成正比。
从伽利略的速度随时间变化的概念引出了一个很重要的物理量——加速度。加速度等于单位时间内速度的增加量，以Δv表示在Δt时间内速度的增加量，则加速度a为：
那么对一个初速为0，加速度为a的匀加速运动，经过一段时间t，它的速度（vt）为：
（如图中斜线AE上各点）
在这段时间内物体的平均速度（v）为：
（如图中线段BF上各点）
用上述平均速度求得时间t内物体走过的距离（S）为：
（如图中矩形AGFB的面积）
同样匀速运动在时间t内走过的距离为：
（图中三角形ABE的面积）
对于自由落体运动，它也是一种匀加速运动。由于各种物体自由下落的加速度都相同，这一加速度叫做自由落体加速度，用g表示，其在时间t内下落的高度（h）的数学表达式即为：
上式表明自由落体运动下落的距离和时间的平方成正比。
伽利略从理论上得出上述结论后，就要用实验来验证它们是否与实际的自然现象一致。
伽利略准备进行一番详细的测量，可是这种测量很难办到。当时没有准确的计时装置，而且物体下落过快，难以进行定量测量。伽利略就设计了“冲淡重力”的斜面实验。即利用物体沿斜面下降的现象来研究，然后再把结论推广到斜面倾角达到90°的情形，也就是物体竖直下落的情形了。这就是著名的伽利略斜面实验。
伽利略在一块长6米、宽4厘米、厚约25—30厘米的木板上，刻一条宽约l厘米的凹形槽。槽面打磨得十分光滑，使其对小球滚动时所产生的摩擦力几乎可以忽略不计。这样，这块挖有凹槽的木板就成了一个受控斜面。然后，伽利略让一个金属小球在木板处于不同的角度下沿槽面滚下。这样小球滚过斜面的时间能够较准确地测量出来了。
实验过程中，斜面角度愈缓，小球滚动愈缓慢。这样他可以随心所欲地测量出被不同程度延缓了的落体运动。测量出小球下滚的时间与距离之间的关系——经过l，2，3，4……秒后，它滚动的距离之比为l，4，9，16……——从而得出落体通过的路程与其降落时间的平方成正比的定量规律。
经过上百次反复实验，而且不论斜面倾斜角度怎样，这一结论都是正确的。当斜面倾角为90°时，即是自由落体情况。
在实验中，伽利略为了准确测定时间，用了一个大水桶，并把它架在高处。在桶底安一个小管使水从中流出，在每次小球滚下的时间内都用一个小杯子接下流出的水。然后用秤准确地称出杯中水的重量的差别，就得出了各次小球滚下所用的时间的差别。
这样，伽利略十分巧妙地通过实验得出了自由落体运动定律。这样的实验现在看来也很不简单，在当时更称得上是第一流的科学研究工作。
可以看出，伽利略在研究落体运动过程中，的确表现出了极其卓越的才能和智慧。他的自由落体运动定律，是把数学公式用于描述物理学规律的第一次成功的尝试，从而开创了近代科学数学化的时代。
