研制天文仪器
在金朝灭亡之后的三四十年中，南宋王朝与蒙古汗国处于南北对峙的局面。但南宋王朝腐败没落，军力衰弱，而忽必烈在一些汉族士大夫的谋划下，治国有方，军事强盛。至元十二年（1275），忽必烈发兵攻打南宋王朝，军事行动节节胜利，大军直逼宋都临安（今杭州市）。翌年，南宋恭宗赵投降。这以后，虽然宋室在文天祥、陆秀夫等人领导下，相继拥立赵正曰、赵奋力抵抗了三年多，但大势已去。至元十六年（1279），南宋王朝完全覆灭，元朝政权一统全国的局面形成。
中国历代封建王朝都把制定和颁布历法视为皇权的象征，忽必烈和他的谋臣们当然也这样认为，再加当时旧有历法错误甚多，的确也迫切需要一部准确的新历。至元十三年（1276），元军一占领临安，忽必烈就下令成立专门机构太史局（掌管天文、历法的中央官署），筹划编订新历。此事起初由王恂具体负责，不久忽必烈又同意王恂等人的建议，把郭守敬从工部调到太史局来，负责仪器制造和天文观测工作。两年后太史局扩大为太史院，张文谦任该院最高领导人太史院事，王恂为太史令，郭守敬为同知太史院事。太史院还集中了全国许多天文学者和历法工作人员。
郭守敬上书说：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。”这就是说，制订历法的根本在于实际观测，而观测得先准备好适用的天文仪器。这种在实测的基础上编订新历法的原则得到太史院同仁的认同和元世祖忽必烈的批准。
郭守敬不光是制造传统的天文仪器，而且大胆革新，研制出许多前人所没有的、测量精度更高的新仪器。他首先对传统的圭表进行改革。圭表诞生很早，相传西周初（公元前11世纪）周公就已使用过圭表。它由直立的表和被称为圭的正南北方向水平放置的尺组成。正午时，太阳将表的顶端投影在圭面上，夏至时表影最短，冬至时表影最长，通过长时间的实测可以定出一回归年的长度。同样是在夏至或冬至，圭表在南方或北方所处的地理位置不同，影长也不同。历代的圭表其表的高度一般均取为8尺，但郭守敬却建造了高4丈的巨型圭表，因此称为高表。表加高到4丈后，圭长也相应增至128尺（指专门测量表影长短的影表尺，1尺等于24.525厘米），圭面周围有水槽，以便注水检验圭面安装是否水平。高表中的表系铜制品，原长5丈，入地深1丈4尺，在圭面上露出3丈6尺，表顶东西两端支撑起一道横梁，横梁至表顶4尺，这样横梁到圭面的高度差正好为4丈。横梁两端可系铅垂线，以检验表是否与圭面相垂直。设置高表的目的是为提高测量日影长度的精度，但表加到如此之高之后，表的影子就会模糊不清。为解决这一问题，郭守敬发明了一种叫景符的装置，它是一个宽2寸、长4寸的中间有一小孔的铜叶，北高南低地放在一个架子上，并随同架子在圭面上来回移动，利用小孔成像的原理，可在圭面上清晰地呈现出太阳和4丈高表的横梁的像，当梁影正好平分太阳像时，即可由此位置正确地读出日影长度。
为了测量星星和月亮的视位置，郭守敬又为高表设计了一种叫窥几的附属仪器，它是一张桌面开有长缝的长方桌，桌子长6尺、宽2尺、高4尺。将窥几顺着南北方向放在圭面上，人在窥几之下观测。窥几几面的狭缝中有两根界尺，叫窥限，观测时，使两窥限分别与天体及横梁上下边缘成一直线，然后取两窥限的中值，由此可算出天体在圭面上的“影长”，从而求出该天体的地平高度。
中国古代，测量天体在天穹上视位置的常用仪器是浑仪。它是在支柱上面，安装多组互相垂直的圆环，圆环上还有刻度。这多组圆环有的在最外层固定不动，有的位于较内层，可以绕中心转动。这些圆环彼此交结成一个浑圆的球，故称浑仪。在浑仪的中央，设有观测天体的窥管，它可以自由地转动，指向天穹上任何位置的天体，然后再从多组圆环上读出天体的几种不同的量度坐标。这似乎相当方便，但浑仪由于有多组圆环，一重套一重，这样不仅容易发生涩滞难运的现象，而且用窥管观测某天体时，常会被某一圆环所遮挡，从而对观测带来了许多不便。针对这一缺点，郭守敬对浑仪作了根本的改革，创造了著名的简仪。
郭守敬摒弃了把几种不同坐标的圆环集中在一起的做法，废除了浑仪中设有的黄道坐标环组，而且把浑仪中的赤道坐标环组和地平坐标环组分解成两个独立的部分——赤道装置部分和地平装置部分。前者由北高南低的两个支架支撑极轴，极轴的南端内外套叠着固定的百刻环和游旋的赤道环，南北两极之间夹着四游双环，四游双环中装有窥衡，与浑仪中窥管不同的是，它是依靠窥衡前后横向突出物上的两个圆孔来瞄准天体的。窥衡对准天体后，从四游双环以及百刻环和赤道环的相对位置上可以读出天体的赤道坐标。地平装置部分由安放在下部的固定的地平环以及可绕铅垂线旋转的立运环组成，立运环中间夹有窥衡，窥衡瞄准天体后，从地平环和立运环上可以读出天体的地平坐标。
简仪中的赤道装置部分，与现代天文望远镜中的赤道式装置原理完全一样。所以，英国著名科学史家李约瑟在评价简仪时说：“对于现代望远镜广泛使用的赤道装置来说，郭守敬的做法实在是很早的先驱。”
郭守敬所制的简仪未能保存至今，但明代仿制的一台简仪如今还存放在南京紫金山天文台。
郭守敬还研制了仰仪。与简仪一样，它也是郭守敬首创的一种仪器，其形状好像一口平放的大锅，“锅”的直径达12尺，高为6尺。“锅”口有水槽，注水后便可校正仪器置放是否水平。在“锅”的南部放置东西向和南北向的竿子各一根，南北向的竿延伸到半球中心，称缩竿，它可以在南北方向上稍作伸缩，以便使竿顶连着的玑板中的小圆孔精确地位于半球中心，玑板还可以绕南北向和东西向转动。东西向的杆称衡竿，它的作用只是用来架住南北向的杆。在仰仪的内半球上，刻有赤道坐标网，不过这个坐标网和实际的天球坐标网东西、南北、上下正好颠倒。转动玑板，使它正好正对太阳，太阳光通过玑板中心的小孔在仰仪的内半球上成像，从坐标网上即可读出太阳在天穹上的视位置。日食时，针孔还可以把太阳像投影在“锅”内，据此可以确定日偏食的食分、日食发生和结束的时刻。
郭守敬研制的天文仪器，除上面已介绍的高表、景符、窥几、简仪、仰仪5种外，还有候极仪、浑天象、玲珑仪、立运仪、证理仪、日月食仪、星晷定时仪等7种，以及专供野外观测用的正方案、丸表、悬正仪、座正仪等4种。在此不作一一介绍。总的说来，郭守敬研制的各种天文仪器都具有精确、灵巧、简便等优点，无怪乎明代初年修成的《元史》中，称誉郭守敬研制的仪器“皆臻于精妙，卓见绝识，盖有古人所未及者。”
举世闻名的“四海测验”
如上文所述，为开展精确的天文实测工作，编制出一部高质量的历法，郭守敬创制了大量的天文仪器。但这并不是说，郭守敬是在这些新仪器问世后才开始进行天文观测的。实际上在至元十三年（1276），郭守敬刚从工部调到太史局，他就开始用旧圭表测定每日中午的圭影长度，以便推算当年的冬至时刻。这以后，郭守敬的天文实测工作一直没有间断，他始终坚持一面使用旧仪器从事天文实测工作，一面又研制新仪器。至元十五年（1278），新天文仪器的研制工作已接近完成，王恂和郭守敬向忽必烈建议：“建司天台于大都。仪象、圭表皆铜为之，宜增铜表高四十尺，则影长而真。”忽必烈采纳了他们的意见，拨款建造大都司天台，并装备仪器，充实人员，使它成为当时世界上最有名的天文台之一。
至元十六年（1279），新天文仪器的研制工作基本就绪，忽必烈又召见了郭守敬。郭守敬献上了所研制的一些仪表的样品，并当场加以试验、讲解，忽必烈大为欣赏。郭守敬乘机向他提出扩大天文观测范围的建议。郭守敬认为，唐朝一行于开元年间令南宫说天下测影，在全国选择了13个观测点。而元朝的疆域比唐朝还要大，所以天文观测范围也应进一步扩大。只有通过大规模的天文实测工作，积累足够的资料，才能编制出精确的历法。忽必烈采纳了郭守敬的意见。于是，在忽必烈的支持下，郭守敬在全国选定了27个观测点，其中最南的南海纬度仅15度，而最北的北海纬度高达65度，在这些观测点上开展了大规模的天文测量，测量每一地方的北极出地高度（相当于当地的纬度）、夏至日圭表的表影长度、夏至日昼夜的长短等。这就是郭守敬举世闻名的“四海测验”。
在郭守敬进行的“四海测验”工作中，有两件事是要特别加以强调的，一是在阳城（今河南省登封县告成镇）的天文测量工作，二是在大都司天台的天文测量工作。
阳城自古以来被人们称为“地中”（大地的中央），历代天文学家都很重视在那里开展天文观测。唐朝一行主持的大规模天文观测所得的数据，主要是取阳城的数据为标准进行比较和归算的，所以郭守敬也特别重视这个观测点。别的许多观测点由他派人前往观测，而这一观测点则是他亲自前往开展观测的，而且在那里建造了永久性的建筑，这就是著名的元观星台。该观星台有一巨大的石圭自南向北延伸，其影表尺长度正好是128尺。因此这座建筑物实际上就是一个特殊的高表。4丈高的表很可能建造时就省去了，因为此建筑物略低于左右两窗的中部可以横向搁置一根梁，它离圭面的高度正好是4丈，它可以起高表中的横梁的作用，配合景符同样可以在圭面上投影出被横梁平分的日影。该建筑物北面的左右两侧有踏道盘旋而上，直至顶部宽阔的平台，在那里可以安置仪器开展天文观测，如观测测量北极星的测地高度等。
在大都司天台的天文测量工作，郭守敬当然更为重视。该台是郭守敬列出的“四海测验”中27个观测点中的一个，与其他观测点一样的常规天文测量工作当然是必须进行的。除此之外，郭守敬还主持开展了三项重要的测量工作，一项是测量二十八宿距星的位置，所谓距星是二十八宿中每宿选定的一颗定位用的标准星，对它们的位置的精确测定是测量其他恒星坐标的基础。第二项是郭守敬在测得二十八宿距星位置的基础上，又测量了数以千计的肉眼可见恒星的坐标，并编成星表呈报忽必烈，可惜由于该星表已失传，其详细情况我们已不得而知了。在大都司天台，郭守敬开展的第三项重要的测量工作就是测量“黄赤道内外极度”，即黄道与赤道间的交角，如果我们把以观测者为中心、天穹半径视为极其巨大的假想球称为天球，那么赤道就是地球赤道面向外扩展与天球相交的大圆，而黄道则是太阳一年中在天球上众恒星间穿行所绘出的大圆，两者间的交角便是黄赤交角。郭守敬当时已发现此角逐年有微小的变化，而且此角测定的精确与否会影响到编历工作中的其他结果，特别对日月食预报的正确性颇有影响，所以他主持对此交角进行了长期的实测，最后获得了相当精确的结果。
授时历诞生
创制新天文仪器、建立上都司天台以及进行“四海测验”，需要投入大量的人力和财力。忽必烈做出如此巨大的投入，其最终目的，就是要求编出一部精确的历法供他颁行全国，以显示他所开创的元朝帝业的稳定和繁荣。编历工作具体负责是王恂和郭守敬两人，王恂擅长数学，故侧重于负责历法推算；郭守敬则主要负责研制新仪器和天象的观测和历法基本数据的校验。制历工作还有两位很重要的顾问，一位是已告老还乡的许衡，一位是后来邀请来的深明历理的杨恭懿。此外还调集了原先在南宋王朝从事天文历法工作的官员和民间通晓天文历数的人士，组成了一个强有力的班子。这个班子首先认真“遍考自汉以来历书四十余家”，总结以往的历法，接着又以新创制的仪器进行天象实测，重新测定新历法的各种基本参数，然后在此基础上编制出新历，此历取《尚书·尧典》中的“敬授民时”一语，将它定名为《授时历》。至元十七年（1280）十一月二十六日甲子日，忽必烈下诏正式颁布《授时历》，并规定从至元十八年（1281）正月一日起在全国实行。
《授时历》是在大量天文实测工作基础上制定出来的，它废除了以往历法中一些繁琐的运算方法，还创造性地采用一些新的数学运算来完成一些复杂的计算，因此该历法十分精确。例如它所取的回归年长度为365.2425日，此值与格里历（即现行公历）所采用的回归年长度值相同，但却比格里历的颁布（1528年）整整早了300年。
《授时历》的正确性也可从另一方面看出。该历从元初到元末共行用了88年。明朝洪武元年（1368）改颁《大统历》，但一切天文数据和推算方法都沿袭《授时历》，实际上是《授时历》的继续施行，其原因是明初的历算家们认为它当时还相当正确，无法作出改进，因此只有改头换面、换个名字来应付明太祖朱元璋。在整个明代，《大统历》的实行未发现明显的失误，足见《授时历》编订时精度之高。如果把《授时历》和《大统历》看成一种历法，《授时历》从元初到明末，共行用了363年之久，是我国历史上实行最长的历法。
在《授时历》颁行之年，该历法的初稿虽已完成，但许多工作还有待继续进行下去。然而人事倥偬，发生了许多变化：年已70多岁的许衡辛勤工作了4年，生起病来了，退休回家乡了；杨恭懿本来就不想做官，也告辞返归故里，此后再也不肯出仕；王恂因家父亡故回原籍守丧，不幸因哀伤过度竟在47岁英年早逝。于是剩下的大量工作就全落到郭守敬的身上。郭守敬整理资料、总结经验，编写成书，四五年中共写就有关《授时历》的专著10多种，计约100卷之多。至元二十三年（1286），郭守敬被任命为太史令，时年他已56岁，他将编纂好的各种著作一一进呈忽必烈。但由于元代三令五申，禁止民间私习天文和历法，私习者甚至收藏有关图书者均要被判罪。因此这些书稿根本不可能出版，而由皇家专门收藏，后来在封建社会频繁的战乱中变得踪影全无。其中只有绝少部分因被收入《元史》、《历志》等书中而得以保存下来，此外只有从明代的《大统历》来了解《授时历》的基本面貌了。
