这颗新行星的发现，完全是根据力学原理，用微积分等数学工具算出来的。因此，人们称海王星为一颗笔尖上的行星。
1915年，美国天文学家洛韦耳，用同样方法算出了太阳系中最远的一颗行星——冥王星的存在。1930年，美国的汤波真的发现了这颗行星。
利用微积分进行计算，人们还解决了月亮会不会撞到地球上的问题。
当时天文观测的结果表明，月亮的轨道正在不断缩小。人们开始担心是不是有那么一天，月亮会和地球相撞呢？后来用微积分计算，证明了月亮轨道的缩小是周期性的，缩到一定程度后还要开始膨胀，根本用不着杞人忧天，担心月亮和地球相撞。
一门生命力强的学科，必须有坚实的理论基础。微积分的基础是极限理论。微积分创立于17世纪，可是极限理论的提出却相当晚，它是在19世纪，由法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。
在极限理论产生之前，人们对微积分的基础有着各种不同看法和争论。当时，虽然在科学研究中广泛使用微积分，可是对于什么是微积分的基础，却没有一个共同的认识。恩格斯说过：大多数人进行微分和积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的。
极限理论的产生，统一了人们的认识，推动了微积分的发展。
1960年，美国数学家鲁滨逊运用数理逻辑的科学方法，把微积分建立在一种新的数学理论之上。科学家为了区别以极限理论为基础的微积分，把在新基础上建立起来的微积分叫做“非标准分析”。
非标准分析问世20年来，引起了数学界的广泛注意，也产生了一些不同的看法。有的数学家认为，非标准分析比传统的微积分更严谨，更适用于进行理论上的探索。也有的数学家认为，非标准分析把传统微积分中丰富的思想砍掉了；个别人甚至把传统微积分比做一个美女，说非标准分析是一具“美女的骷髅”。
认识在争论中提高，科学在争论中发展。明天的微积分，一定会更加完善、充实和有用！
二十世纪数学的领航人
19世纪最后一年——1900年的夏天，在巴黎塞纳河畔举行的第二次国际数学家代表大会上，一位30多岁的年轻数学家在他所做的报告《数学问题》中，提出了23个数学问题，总结他那个时代的数学研究。在此后的数十年里，这23个问题几乎完全左右着数学发展的方向，对20世纪的数学发展产生了巨大的影响，为许许多多的数学家们带来欢乐，也带来苦恼。这个提出23个问题的人，便是德国数学家希尔伯特（1862～1943，1888年他以独创方式发展了不变量的数学，证明了不变系的基的有限性）。后来，这23个问题被称为“希尔伯特问题”。
希尔伯特于1862年1月23日生于德国的哥尼斯堡（现今为俄罗斯的加里宁格勒）。希尔伯特的母亲是一位对哲学和天文学极有兴趣的女性。希尔伯特从小便受到母亲的熏陶，这为他后来的成长产生了良好的作用。
希尔伯特幼年时记忆力很差，理解概念的反应速度也极慢，经常受到老师的批评。后来上中学时，他结识了犹太人闵可夫斯基家才华出众的三兄弟。希尔伯特希望自己能像闵可夫斯基兄弟那样，受到人们的尊重。他努力克服自身的弱点，深入体会数学中的概念，在闵可夫斯基兄弟的影响下，希尔伯特找到了他喜爱的科目——数学。
后来，他分别在哥尼斯堡大学、海德堡大学学习。数学名家富克斯的数学思想深深影响了希尔伯特，后来他又返回哥尼斯堡大学。不久，闵可夫斯基、希尔伯特和年龄稍大一些的赫维茨，成了哥尼斯堡数学圈子里著名的“三剑客”。他们几乎讨论了数学各个领域的问题，相互交换获得的研究成果，交流彼此间的想法和研究设想。
希尔伯特大学毕业以后，进行了一次成效显著的学习旅行，这次旅行使他弥补了因身居哥尼斯堡小城而造成的孤陋寡闻的缺憾。希尔伯特拜访了德国数学界的传奇人物克莱因。希尔伯特选听了克莱因的课，还参加了克莱因的一个讨论班。他深为克莱因所器重，克莱因推荐希尔伯特前往法国巴黎。在巴黎，他了解到国际数学界的研究状况，大大地开阔了眼界。
后来回到优美宁静的哥尼斯堡，希尔伯特沉浸在关于不变量理论的果尔丹问题里。这一问题，数学家们已经花费了很大的力气。但只经过半年的艰苦攻关，果尔丹问题居然被希尔伯特解决了。
1895年，应克莱因之邀，他来到数学家高斯的故乡哥廷根。来到哥廷根不足一年，希尔伯特和闵可夫斯基合作，完成了一篇关于数论研究方面的综合论文，成为数论领域中的经典作品。不久，又发表了《相对阿贝尔域理论》的论文，建立了探讨“类域”论所必需的方法和概念。这是希尔伯特独创性的显露。1898年～1899年，希尔伯特编著了囊括整个几何学领域的重要著作《几何基础》，获得科学界的称赞。
偏偏就在人们的赞叹声中，希尔伯特瞄准了著名的“狄里克莱原理”。直到19世纪末，数学家仍把对这个原理的探索看做死胡同，然而希尔伯特却妙手回春，“复活”了狄里克莱原理，在国际数学界震动一时。
20世纪来到了，希尔伯特的数学兴趣更广泛了，他几乎涉足了数学的全部领域。在闵可夫斯基和赫维茨的协助下，1920年夏，在第二次国际数学代表大会上，他提出了著名的“希尔伯特问题”。随着狄里克莱原理的解决，他为数学分析的精确性和逻辑无矛盾性奠定了重要基础。
1912年，希尔伯特50岁，关于微积分方程的成果，使他走进数学与物理的边缘地区。这一年，他发表了一篇有关气体分子运动论方面的基础论文，宣告了希尔伯特的兴趣点已经转向物理学方面。
20世纪初期，以物理三大发现为序幕，在量子力学和相对论两个领域，现代物理学进行了一场深刻的革命，现代物理学硕果迭出，成为时代发展的热点。当时，由于新的物理学尚未迫使经典物理学退出历史舞台，物理学领域在外行人看来显得一片混乱。
希尔伯特相信运用公理化方法可使物理学摆脱混乱，但他也承认，光靠数学的力量解决不了物理学问题。这时，希尔伯特求助他的老朋友索末菲给他介绍最新的物理学成就。索末菲是一位优秀的物理学家，在量子理论和原子结构等方面有很深的研究。他不仅耐心地向数学家希尔伯特介绍了物理学家的重大发现，而且专门派他的一名学生，到哥廷根作希尔伯特的助手。希尔伯特虽然理解艰深、晦涩的物理概念显得很迟缓，但是他一经理解发生在物质微观领域中的事物本质，就能够抓住要领。1915年冬季，伟大的物理学家爱因斯坦获得了研究决定引力场与微分形成的系数的相互关系方面的结果，并且先后发表了两篇广义相对论的论文。事实上，希尔伯特则用了完全不同的、更为直接的方法，独立地解决了类似课题，并于同年11月20日向哥廷根科学协会提交了论文，仅比爱因斯坦第一篇论文晚了9天，而早于爱因斯坦第二篇论文6天。
希尔伯特坦诚地承认，广义相对论这一伟大思想，应该归功于爱因斯坦。他认为爱因斯坦关于广义相对论的几何抽象更完善。1915年，希尔伯特推荐爱因斯坦荣获鲍耶奖。
希尔伯特一生追求确立数学的相容性，追求纯粹数学演绎过程的无矛盾性，成为数学发展史上形式主义流派的创始人，有力地推动了数学的发展。特别是他提出的23个希尔伯特问题为20世纪数学研究指明了方向。
希尔伯特去世后，得到了这样的评价：“他像长河上的惟一一座大桥，不论人们来去何方，都要经过它。因为它连接两个数学世纪。”
三元渗透原理的发现
赫尔曼·魏尔（Claude Hugo Hermann Weyl，1885～1955），德国数学家，把纯粹数学和理论物理学联系起来，创立了数学新分支，把麦克斯韦的电磁场和引力场表现为时、空的几何性质，重要著作有《黎曼曲面概念》、《空间、时间、物质》、《群论和量子力学》。他1885年11月9日生于德国汉堡附近的一个小镇埃尔姆荷恩。他父亲路德维希是钱庄的经纪人，母亲安娜是家庭妇女。1904年，18岁的魏尔从阿尔托那中学毕业后，进入哥廷根大学学习数学。当时以希尔伯特为代表的哥廷根学派，已经是世界数学的中心，希尔伯特和闵可夫斯基在20世纪最初10年培养起一代新人，也将数学发展推向一个新阶段。魏尔就是以一个乡下孩子的身份在这个幸运的环境中走入数学王国的。
在哥廷根，魏尔像海绵吸水那样从数学大师希尔伯特那里吮吸营养。1907年，他开始写博士论文《奇异积分方程》，这是他第一篇学术著作，标志着他学术生涯的开始。1910年，魏尔取得了哥廷根大学的无薪讲师职位，留在希尔伯特身边从事研究工作。
1911年～1912年，魏尔在哥廷根大学开设黎曼的函数论，讲课和进一步研究促使魏尔1913年出版了《黎曼曲面概念》一书。这部经典著作直接奠定了一般拓扑学的基础，使拓扑学成为当代数学的天皇。
1913年秋，魏尔与海拉结婚，从此，海拉一生分享着魏尔对于科学、哲学、艺术和文学的欣赏趣味，成了魏尔离不开的精神伴侣，她为魏尔安排了一个舒适美满的家庭。他们后来在普林斯顿的住所成为数学家、著名作家、哲学家经常聚会的高级文化中心，欧洲式的文化沙龙。婚后，魏尔应邀去瑞士苏黎世大学任教。在湖光山色、风景宜人的苏黎世，魏尔结识了爱因斯坦，与爱因斯坦的谈话使魏尔开始注意物理学革命的新领域。还没等魏尔投入研究，第一次世界大战爆发了，远在瑞士的魏尔不得不在1915年应征入伍服了一年兵役。
