一次函数是形如“y=kx+b(k为不为0的数）”，反映因变量y随着自变量x变化而变化的函数。是初中阶段研究的一种重点函数。在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=f(x)，（即x经过某种运算得到y），即每一个x都有唯一一个y与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（y随x的变化而变化的意思）。如果有2个及以上个值的y与某个x对应，又或者没有y对应于某个x，那么y就不是x的函数。若自变量最高次数为1，则这个函数就是一次函数。还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（如π）。
基本信息
中文名：一次函数
外文名：Linearfunction
表达式：y=kx+b（k≠0）
提出者：布尼茨
应用学科：数学，科学，物理
适用领域范围：计算机
数学术语
【读音】yīcìhánshù
【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数，k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。
基本定义
变量：变化的量
常量：不变的量
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自变量x和X的一次函数y有如下关系：
y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）
当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数。
x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）
则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零常数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
当x一定的时候只有一个y与x相对应。
相关性质
函数性质
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1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b（k不等于0，且k，b为常数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距，图像与y轴的交点坐标为(0，b).
3.k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，Θ≠90°)
4.当b=0时，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.
图像性质
当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。
当两直线中的k相同，b也相同时，两直线重合
当两直线中的k相同，b不相同时，两直线平行
当两直线中的k不相同，b不相同时，两直线相交
两直线中的k不相同，b相同时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）
1．作法与图形：通过如下３个步骤
（1）列表[根据自变量的取值范围，选取一定量的自变量的值，计算出其对应的函数值]；
（2）描点；[将列表中的一组对应的值，转化成坐标，取自变量的值为横坐标，函数值为纵坐标，进而根据坐标在平面直角坐标系里描出其对应的点]
（3）连线[将描出的点用恰当的线连接起来.
由于一次函数的图像是一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，描两个点并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx+b时：
当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，即y=kx，y与x成正.比直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k＜0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
确定一次函数的表达式
已知点A（X1，y1）；B（X2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到了一次函数的表达式。
相关应用
生活中的应用
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1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
一次函数应用的生活中的各个方面，上述只是举了几个例子而已.但必有着重注意的是，一次函数在生活中应用时，要注意自变量的取值要求，必须与生活实际相符合.。
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1：已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。
二、比较x值或y值的大小
例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）
A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A.
典型例题
例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例2：某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
电脑公司：Y1=8X
学校：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1<Y2
【考点指要】
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一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例3：如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
解：
（1）若k＞0，则可以列方程组：
-2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5b=-6，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
（2）若k＜0，则可以列方程组
-2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。
平面直角坐标系其他公式：
1.坐标平面内的点与有序实数一一对应。
2.一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点，横坐标为0.
6.x轴上的点，纵坐标为0.
7.坐标轴上的点不属
