对数的定义：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
基本信息
中文名：对数函数
外文名：LogarithmicFunction
别称：对函数
表达式：y=logax（a>0&a≠1）
提出者：纳皮尔
提出时间：16世纪末
应用学科：数学
适用领域范围：代数学，自然科学
函数最值：无
函数零点：x=1
函数对称轴：无
简介
正在加载对数函数
函数y=a^x(a>0，a≠1)的反函数y=loga(x)(a>0，a≠1)叫做对数函数．
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
历史
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为
Nap．㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。
概念与知识点
定义
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里a<0，或=1的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：
log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(commonlogarithm)，并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm)，并且把logeN记为InN。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，aX=N→X=logaN。(N>0)
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
在实数范围内，负数和零没有对数
logaa=1
log以a为底a的对数为1(a为常数)恒过点(1，0)
性质
定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1
和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}
值域：实数集R，显然对数函数无界。
定点：函数图像恒过定点(1，0)。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;
0<a<1时，在定义域上为单调减函数。
奇偶性：非奇非偶函数
周期性：不是周期函数
对称性：无
最值：无
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=logab(其中a>0，a≠1，b>0)
当<a<1，0<b<1时，y=logab>0;
当a>1，b>1时，y=logab>0;
当0<a<1，b>1时，y=logab<0;
当a>1，0<b<1时，y=logab<0。
指数函数的求导:
e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...
设a>0，
a!=1----(loga(x))'
=lim(Δx→0)((loga(x+Δx)-loga(x))/Δx)
=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))
=lim(Δx→0)(1/x*loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*lim(Δx→0)(loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)
=1/x*loga(e)
特殊地，当a=e时，(loga(x))'=(lnx)'=1/x。
----设y=ax两边取对数lny=xlna两边对求x导y'/y=lnay'=ylna=a^xlna
特殊地，当a=e时，y'=(ax)'=(ex)'=e^lnex=ex。
运算性质
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要>0且≠1真数>0
并且，在比较两个函数值时：
如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时)
如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0<a<1时）
当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga(M/N)=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R)
(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1)
(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)证明：
设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)
(6)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b
(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M，log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M，log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M，log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M，
log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
表达方式
(1)常用对数：lg(b)=log10b(10为底数)
(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)
e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828对数函数的定
