双曲线(Hyperbola)，是指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线。方程：X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0，b>0)。
基本信息
中文名：双曲线
其他外文名：hyperbolic
学科应用：数学（解析几何）
实际应用：埃菲尔铁塔，天文望远镜的设计
第二定义
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
?注意：定点要在直线外；比值大于1
?双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
?其中a>0，b>0，c^2=a^2+b^2，动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a
几何性质
（1）范围
由标准方程，可得x2≥a2，当|x|≥a时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值．要讲情在x＝－a，x＝a之间没有图象，当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
（2）顶点
双曲线有两个顶点（a，0），（－a，0）．令x＝0时，方程y2＝－b2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长．
（3）对称性
双曲线的对称性与椭圆完全相同，可逐一提问，让学生回答双曲线的对称性，并说明原因．
（4）渐近线
对圆锥曲线来说，这是双曲线特有的性质．在远离双曲线的中心时，双曲线的渐近线几乎成为双曲线的“代表”，“双曲线是直线？”在徒手画双曲线时双曲线的渐近线指导意义更为突出．
若曲线上某一点到某条直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线．
首先可以看到，由双曲线的标准方程解出
y＝±＝±x，
当x无限增大时，趋向于0，也就是说，这时双曲线y＝±与直线y＝±x无限接近．这使我们有理由猜想直线y＝±x为双曲线的渐近线．至于在第一象限内，当x无限增大时，双曲线上的点M（x，y）到直线y＝±x的距离是否趋向于0。
如图，设点M到直线y＝±x的距离为|MQ|，在Rt△MQN中，若斜边的长趋近于0，当然直角边的长也趋近于0，所以当|MN|→0时，立刻可得|MQ|→0，这就证明了当x无限增大时，点M到直线y＝±x的距离趋近于0．
（5）离心率
与椭圆一样，我们把比值e＝叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据．由于上＝，当e的值从接近于1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大．
标准公式
X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0，b>0)
而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy=c的对称轴是y=x，y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x=0，y=0
所以应该旋转45度
设旋转的角度为a（a≠0，顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
则
X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2
=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2
=4(√2/2x)(√2/2y)
=2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)
Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数
对勾函数，形如f(x)=ax+b/x（a>0），是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数“、“双飞燕函数”等，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。在正规的数学书上是没有这个“对勾函数”的。在比较严格的、科学的解析几何学里，这是一个以直线y=kx、x=0为渐近线的双曲线y=x+k/x。用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。
基本信息
中文名：对勾函数
英文名：Nikefunction
别名：耐克函数、耐克曲线、对号函数
应用学科：数学
表达式：f(x)=ax+b/x（a>0）
适用领域范围：代数学，函数
性质
图像
正在加载虚线为渐近线
对勾函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=x。
最值
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）时，f(x)取最小值。
奇偶性
双勾函数是奇函数。
单调性
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定
a>0，b>0
），也就是当x=ssqrt(b/a）qrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）
令k=sqrt(b/a），那么：
增区间
：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：
{x|-k≤x<0}和{x|0
变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线
对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
均值不等式
正在加载对勾函数
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。
导数求解
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。
另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。
由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。
其它解法
面对这个函数f(x)=ax+b/x，我们应该想得更多，需要我们深入探究：
⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；
⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；
⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。
因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。
高考例题
正在加载对勾函数的图像和性质
2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数y=x+a/x有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0，√a]上是减函数，在，[√a，+∞）上是增函数．
⑴如果函数y=x+（2^b)/x（x>0）的值域为[6，+∞），求b的值；
⑵研究函数y=x^2+c/x^2（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；
⑶对函数y=x+a/x和y=x^2+a/x^2（常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)=(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x是正整数）在区间[?，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值
f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0
当x>0，
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
当x=1/x取等
x=1，有最小值是：2，没有最大值。
当x<0，-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
证明函数f(x)=ax+b/x，(a>0，b>0）在x>0上的单调性设x1>x2且x1，x2∈（0，+∝）则f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1）-（ax2+b/x2）=a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2=（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2因为x1>x2，则x1-x2>0当x∈（0，√（b/a））时，x1x2<0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减；当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2>b/a则ax1x2-b>b-b=0所以f(x1）-f(x2）>0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。
重点
其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+a/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
值域为（-∞，-2√ab）∪（2√ab，+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1
下面分情况讨论
⑴当x1<-根号a时，x1-x2<0，x1x2-a>0，x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
⑵当-根号a<0时，x1-x2<0，x1x2-a<0，x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a，0）上是减函数
⑶当0<；根号a时，x1-x2<0，x1x2-a<0，x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<0，x1x2-a>0，x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。
