大学物理课程已经叙述了力的基本知识。在此基础上，本章第1节先从矢量运
算的角度讨论力的投影、力系的分类、汇交力系的合成;随后引入描述力的转动效应
的力矩，包括力对点的矩和力对轴的矩以及两者关系，力矩计算的两类逆问题;再讨
论一种不能再简化的力系———力偶，并进行力偶系的合成。第2节分析约束，工程系
统中的物体或构件一般都受有约束。约束可以理解为周围物体对所研究对象的力的
作用，也可以理解为周围物体对所研究对象运动的限制。本章从前一观点分析约束，
讨论工程中常见几类约束的约束力特性，第9章所叙述分析平衡问题的能量方法将
从后一观点分析约束。第3节基于约束的特性，可以进行受力分析，即确定所研究物
体受到的各个约束给予的力的作用位置和方向，绘制受力图。
力和约束的知识，不仅是静力学中力系简化和平衡问题分析的基础，也是动力学
问题研究的前提，还是后续课程中相关力学计算的必要准备。受力图的绘制，是进行
受力分析和计算的基础。
1.1力、力矩和力偶
1.1.1力、力系以及力的投影
力是物体间的相互机械作用，这种作用能使物体的运动状态和形状发生改变。
所谓机械作用是指物体间的接触或场(例如重力场)的作用。力改变物体运动状态为
力的运动效应，也称外效应。力改变物体形状为力的变形效应，也称内效应。力的运
动效应和变形效应取决于力的三要素，即力的大小、方向和作用点。力的大小即物体
之间机械作用的强度。力的量纲为MLT-2，在我国法定采用的国际单位制中，力的
计量单位是牛顿，记为N(1N=1kg·m/s2)。力的方向即物体之间机械作用的方向。
力的作用点，即物体之间机械作用的部位。力作用在刚体上时，力的作用点可以用作Fx=F·i=Fsinγcosφ，Fy=F·j=Fsinγsinφ，Fz=F·k=Fcosγ
(1.1.5)
这种计算力的投影的方法称为二次投影。
前面讨论的力在轴上的投影是力和轴共面的情况。投影计算式(1.1.1)和
式(1.1.5)同样适合当力和轴不共面的情形。如图1.1.1中的力和z1轴，我们定义
Fz1=Fz=F·k=Fcosγ(1.1.6)
这样，力在所有平行轴上的投影都相等。
除了向轴投影外，力还可以向平面投影。设力与平面的夹角为θ，则力F向Π平
面的投影FΠ仍为矢量，其大小为
FΠ=Fcosθ(1.1.7)
也可以认为，力在平面上的投影，是对该平面中的特定的轴的投影，这特定的轴就是
包含力F的作用线并与投影平面Π垂直的平面与平面Π的交线轴η，如图1.1.2
所示。
刚体受到的作用力往往不止一个而是一组，这一组力称为力系。为研究的方便，
往往将比较特殊力系先行考察。若力系中各力的作用线相交一点，则称该力系为汇
交力系，一般力系不要求各力作用线通过同一点;若力系中各力的作用线在同一平
面内，则称该力系为平面力系，而空间力系的作用线不限定于同一平面。另一类特殊
的力系是力作用线互相平行的力系，称为平行力系。若一个力与一个力系对刚体作
用的运动效应相同，则称这个力是该力系的合力，而力系中的各个力是该力的分力。
计算力系合力的过程称为力的合成。
汇交力合成所遵循的基本规律为平行四边形法则。作用同一点的两个力可以合
成为一个力，合力也作用于这一点，合力的大小和方向由表示两力的有向线段为边所
构成的平行四边形的对角线确定，如图1.1.3(a)所示。
图1.1.2力在平面上的投影图1.1.3两个共点力的合成
设作用于同一点A的两个力为F1和F2，则合力FR用矢量式表示为
FR=F1+F2(1.1.8)
由于合力将平行四边形分成两个全等的三角形，因此，求合力无须作出平行四边形，
只需将相加的两个力首尾连接作出力的三角形即可，这种方法称为力的三角形法则，如图1.1.3(b)所示。这一力的合成方法可以推广到汇交力系。设在物体的A点作
用有4个力组成的汇交力系F1，…，F4，按力的可传性原理将这些力的作用点都沿作
用线移到A点，不失一般性，按自然数顺序用力的三角形法则计算合力:
FR1=F1+F2，
FR2=FR1+F3=F1+F2+F3，
FR=FR2+F4=F1+…+F4(1.1.9)
图1.1.4表明，计算FR1和FR2的中间过程可以省略。只要将诸力矢量首尾相连，从
第一个力的起点(汇交点A)向最后一个力的终点作出的矢量就是该汇交力系的合力
FR。这一方法对任意有限个力Fi(i=1，2，…，n)组成的汇交力系都成立，这种求合
力的方法称为力的多边形法则。用矢量式表示为
FR=F1+…+Fn=∑
n
i=1
Fi(1.1.10)
图1.1.4汇交力系的合成:力的多边形法则
将汇交力系中各力表示成式(1.1.2)的形式
Fi=Fixi+Fiyj+Fizk(i=1，…，n)(1.1.11)
代入式(1.1.10)，按基矢量提取公因子，化作
FR
?
è
=?∑
n
i=1
F
?
?
ix÷i
?
è
+?∑
n
i=1
Fi
?
?
y
÷j
?
è
+?∑
n
i=1
F
?
?
iz÷k(1.1.12)
基矢量i，j和k前的系数即为合力的投影，即
FRx=∑
n
i=1
Fix，FRy=∑
n
i=1
Fiy，FRz=∑
n
i=1
Fiz(1.1.13)
由此可知，汇交力系合力在任一轴上的投影等于分力在同一轴上投影的代数和，此结
论称为合力投影定理。合力的大小FR及其方向余弦cosαR，cosβR，cosγR分别为
FR=F2
Rx+F2
Ry+F2
Rz，(1.1.14)
cosαR=
FRx
FR
，cosβR=
FRy
FR
，cosγR=
FRz
FR
(1.1.15)
这种求合力的方法称为解析法。
力系的平衡是指力系中各力对刚体的作用互相抵消，其运动效应等同于无此力
系作用的情况。最简单的平衡力系是由两个力组成，显然，这两个力一定是大小相
等、方向相反并且作用在一直线上，这是刚体受两力作用而平衡的充分和必要条件，称为两力平衡条件;若刚体仅受三个非平行的力作用而平衡，这三个力必汇交于一
点，且作用线位于同一平面内，这一结论称为三力平衡汇交定理，是刚体受三个不平
行的力作用而平衡的必要条件。普遍的力系平衡的充分和必要条件将在第3章中
讨论。
三力平衡汇交定理的证明如下:设刚体受F1、F2、F3三个力作用而平衡，其中F1
和F2的作用线相交于O点，如图1.1.5所示。由力的平行四边形法则知，F1和F2可
以合成为一个力FR，因此，刚体在F3和FR作用下平衡。根据两力平衡条件知，F3的
作用线必和FR作用线重合，即F3的作用线必定通过O点，并在F1和F2决定的平
面上。
图1.1.5三力平衡汇交定理证明图示
刚体受三个力作用而平衡时，在已知前两个力的作用方向时，可利用三力平衡汇
交定理确定第三个力的方向。
例1.1.1某刚体的O点作用有空间汇交力系。已知各力的大小为F1=400N，
F2=200N，F3=100N，方向为θ1=30°，θ2=60°，如图(a)所示。用解析法计算其
合力。
例1.1.1图
解由合力投影定理，合力在各坐标轴上的投影为
FRx=F1cosθ1-F3=246.4N
FRy=F2cosθ2=100N
FRz=F1sinθ1+F2sinθ2=373.2N合力的大小和方向分别为
FR=F2
Rx+F2
Ry+F2
Rz=458.3N
γ=arccos
FRz
FR
=35.5°，φ=arctan
FRy
FRx
=22.1°
如图(b)所示。
