1985-2008年，对印度数据进行Granger检验的结果与中国所呈现出来的结果有着很大的不同——只有GDP对于税收收入总量滞后2期以10%水平显着，GDP只是滞后2年税收收入总量的Granger原因，而没有足够的证据证明税收收入总量对于GDP存在因果关系。这是与印度的税收体制有密切关系的，首先，与中国不同，印度的纳税年度的计算方法为每年的4月1日起到下一年的3月31日止，这就会使GDP对税收收入的影响再向后滞后1年；其次，检验结果表明印度的税收收入总量对于GDP不存在明显的因果关系是因为，印度政府当发现经济向好、税收总量大幅增加时往往就会推行减税政策，而在发现税收总量相对不足时，就会提高税率或开征预提税，以保持宏观税负在一个大体稳定的水平，这也是与印度的民主政体紧密相关的。这样一来，就会使税收收入对于GDP的影响变得不显着。于是，一方面印度的GDP总量对于税收收入总量存在较弱的因果关系；另一方面，印度的税收制度与GDP没有因果关系，也就是说，印度的税收政策没有明显的刺激经济增长的特征。正如WangDashu（2008）所指出的那样，印度财政是吃饭财政，财政刺激经济的功能已经退化，财政收入勉强养活官僚机构，没有余力投资于基础设施，结果是铁路、公路、电力等长年紧张。
1995-2008年的检验结果无论中国还是印度，都与1985-2008年结果非常相似，仍然是中国的税收收入总量在第2期以后开始显示出对GDP的作用，而GDP总量对税收收入总量的影响在下1年立刻反映出来。印度也依然是只有GDP总量对税收收入总量在此后第2年产生影响。
如果我们用表格将两国在不同时间段内税收收入总量与GDP的关系地展现出来，就比较清晰了。
（2）注：括号里的数字代表的有因果关系的滞后期数。
从表3‐5中可以看出，在1970-1984年，也就是在中国两步“利改税”改革初见成效之前，中国和印度并没有出现很大的区别，均呈现出税收收入总量不影响GDP，而GDP对1年或2年以后的税收收入有影响的状态；GDP领先于税收收入，税收收入跟随GDP在增长。这就与我们在第二章中观察历史所得出的结论比较一致。
在1985-2008年，事情开始发生变化。在中国，当年的GDP对下一年的税收收入有影响，而税收收入又对后2-5年的GDP产生影响，这就形成了一个良性循环，即GDP的增加使得税基扩大、税收收入增长，财政收入增加，政府通过财政支出刺激经济又会使GDP增长。在1995-2008年内情况近似，只是税收收入总量对后2-3年的GDP总量有影响。
然而在印度，1985年以后所呈现出来的状态与1984年之前以及整个时间段内的状态全部基本一致，在将近30年内并没有产生太大的变化，印度的税收制度始终未能表现出刺激经济增长的态势，GDP与税收收入之间一直在滞后2年保持着比较弱的因果关系。
对照着上一章中的图2‐10我们可以看到，实证分析出来的结果是透过表面现象剖析深层关系，得出的结果与我们在上一章中观察得到的结论比较接近，我们用计量经济学的方式印证了史实所呈现出来的状态。
二、单位根检验及协整检验
在进行了Granger因果检验后，两个国家中税收收入总量和GDP总量之间的因果关系已经基本清晰了，但是Granger因果检验只能检验出二者之间是否相互影响，而影响是否只是偶然的、暂时的，还是长期稳定的，尚不得而知。这个时候需要使用单位根检验和协整检验，来进一步分析二者之间关系的稳定性。在这一节中，我们先通过单位根检验看税收收入总量和GDP总量是否为平稳时间序列；在不是平稳时间序列的情况下，那么就要通过ADF协整检验看二者之间的关系是否是长期稳定的。
（一）单位根检验及协整检验的原理
1.单位根检验可参考詹姆斯·D·汉密尔顿着，刘明志译，1999。
通常使用ADF检验（Augmented****ey‐FullerTest）来进行单位根检验，此方法是通过在回归方程右边加入因变量yt的滞后项来控制高阶序列相关的。
Δyt=γyt－1+a+δt+∑pi=1βiΔyt－i+utt=1，2，…，T检验：H0:γ=0H1:γ<0
零假设为序列存在一个单位根，备择假设为不存在单位根。在零假设下，即当γ显着为0的时候，则Δyt可以完全由以前各期的Δyt线性表示，Δyt就是一个随机游走过程，相应的yt是一个单位根过程。单位根检验通常是通过证明γ显着的不为0，进而拒绝原假设，接受备择假设，从而得出时间序列不是随机游走的，而是平稳的结论。当没有充足的理由证明γ显着为0的时候，则认为时间序列存在单位根过程。
2.协整检验可参考Engle和Granger（1987）。
协整关系是用于刻画两个或多个时间序列之间的平稳关系。Engle和Granger（1987）指出，两个或多个非平稳时间序列的线性组合序列可能是平稳的，即时间序列的线性组合序列可能有不随时间变化的性质。因此，协整关系是研究非平稳时间序列的组合的关系的重要概念。
确立协整关系，需要涉及到协整检验。协整检验分为两种，一种是基于回归系数的协整检验，主要用于时间序列VAR模型分析中，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如ADF检验。
其中基于回归残差的协整检验方法如ADF检验方法是一种简单容易的方法，通常用于单独几个时间序列的协整分析。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系，就意味着因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成了一个残差序列，这个残差序列应是平稳的。这样，如果一组时间序列变量之间存在着协整关系，就等价于检验回归方程残差序列是平稳序列。
ADF 检验的算法如下：
假定存在k 个时间序列，且都为1 阶单整序列，建立回归方程：
y1t=β2y2t+β3y3t+…+βkykt+ut其模型的估计残差为：t=y1t－2y2t－3y3t－…－kykt检验残差序列t是否平稳，使用ADF检验来判断残差序列t是否平稳。如果t是平稳的，则可以确定回归方程中的k个变量(y1t，y2t，y3t，…，ykt)之间存在协整关系，并且协整向量为(1，－2，…，－k)′。
（二）单位根检验
我们需要先知道税收收入总量与GDP总量是否为非平稳的时间序列。通过图2‐10可以看出，税收收入与GDP很有可能为非平稳时间序列，我们先通过单位根检验其平稳性，检验结果见表3‐6。
表3‐6中国和印度GDP与税收收入总量数据单位根检验结果
是否平稳是否1阶单整是否2阶单整1970-2008中国GDP否否是税收收入否否是印度GDP否否是税收收入否否是1970-1984中国GDP否否是税收收入否否是印度GDP否是是税收收入否是是1985-2008中国GDP否否是税收收入否否是印度GDP否否是税收收入否否是1995-2008中国GDP否否否税收收入否否是印度GDP否否是税收收入否否是经检验，中国和印度的GDP与税收收入数据均为非平稳序列，经检验基本都为二阶单整的（中国1995-2008年GDP数据除外），只有1970-1984年的印度数据表现出一阶单整的特征。
（三）ADF协整检验由于GDP与税收收入总量都为非平稳的时间序列，因此，为了进一步分析同年GDP与税收收入之间是否存在稳定的协整关系，使用ADF方法对其进行协整检验。
设定GDPi代表i国国内生产总值，TAXi代表i国国内税收总量，其中i=China，India。dGDPi代表i国国内生产总值的1阶差分，dTAXi代表i国国内税收总量的1阶差分，设定回归方程为：dGDPi=β0+β1dTAXi+ut，使用OLS回归得到残差t，对于t进行ADF检验以确定是否存在协整关系。
从表3‐7中可以看到，中国和印度1985-2008年和1970-2008年的数据的检验结果非常相似，都存在着协整关系，特别是自1985年之后，两国税收总量和GDP总量之间存在着长期而稳定的关系。而在1970-1984年，两国内两组数据之间的关系却不是很稳定。结合两国实际来说，1970年代，两国的经济形势都不是很稳定，两组数据之间表现出非稳定的关系是符合实际的。从回归模型的拟合度来说，1970-2008年的数据中，中国的调整拟合优度为78.73%，印度的调整拟合优度为80.63%；1985-2008年内，中国的调整拟合优度为86.89%，印度的调整拟合优度为82.74%，这说明在此时间段内税收总量对于GDP总量具有良好的解释能力。
显着水平，表示99%显着水平，()为T统计量；调整拟合优度表示的是检验结果能够解释事件的百分比；中国1994-2008年数据无法协整。
三、VAR模型检验
在前文中，我们已经印证了税收总量和GDP总量之间的因果关系，并且在通过单位根检验和协整检验得出了税收总量和GDP总量之间存在着长期的稳定的关系。这个时候我们不禁进一步地思考更多的问题，比如二者之间具体在量上的关系。通俗一点说就是，自1985年以来，中国税收收入总量与此后2-5年的GDP总量之间存在因果关系，那么，今年每征收1元钱的税，会导致后年的GDP发生怎样的变化？在印度又是怎样？能否证实我们在第二章中描述统计数据得出的结论？税收和GDP之间的因果关系的密切程度在两个国家之间是一样的吗？也就是说，要定量分析二者之间存在着怎样的滞后影响关系。
于是，对于存在长期稳定关系的数据，本节将构建VAR模型来定量分析系统中各时间序列之间具体存在怎样的滞后影响关系。
（一）VAR模型的原理可参考汉密尔顿（1999）。
VAR模型（VectorAutoregression）即向量自回归模型，其思想是把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从单变量自回归模型扩展到多变量向量自回归模型。VAR模型可以分析各变量之间滞后项的交互影响，对于金融时间序列分析十分重要。
VAR(p) 模型即非限制性向量自回归模型。的数学表达式为：
对于此VAR模型可以通过最小二乘估计来进行，在非限制条件下，最小二乘法可得矩阵的估计量：^=1T^εt^εt′。
VAR模型能够反映出系统中各时间序列之间是否存在着滞后影响关系。通过模型回归反映出了一阶矩的信息传导。使用VAR模型能够清晰地反应出GDP和税收收入总量对于滞后数据的影响，进而在一阶矩层面检验GDP与税收收入总量之间的关系。
（二）使用VAR模型进行定量分析
在前文中，我们运用了Granger因果检验和协整检验对于GDP总量和税收收入总量间的关系进行了初步分析。对于1970-2008年的整体数据，存在一定的单向因果关系，并且存在2阶单整关系；对于1970-1984年的数据，不存在明显的因果关系；对于1985-2008年的数据，存在明显的因果关系，并且存在2阶单整关系；对于1995-2008年的数据，也存在明显的因果关系，只是数据无法协整。
接下来要构造VAR模型，首先要确定滞后阶数，综合考虑LR准则、FPE准则、AIC准则、SC准则和HQ准则等各准则提供的最优滞后阶数以及样本容量和自由度等问题；其次根据选择的滞后阶数设定VAR模型；最后，分析回归结果，判断变量之间的交互影响关系。
和前面的分析方法一样，我们将数据分为1970-2008年的整体数据、1970-1984年、1985-2008年以及1996-2008年等4段时间来分别进行分析。
1.1970-2008年VAR分析
（1）中国数据分析1970-2008年中国GDP和税收收入数据各29个。首先考虑滞后阶数的选择。
中可以看出，根据滞后阶数选择标准，五个标准均显示建立滞后2 期模型行。
从模型的整体回归结果来看，虽然有参数并未通过T检验，但是整个VAR模型显着，VAR模型的调整拟合优度达到了99.96%，整体极大似然比为‐270.2859（见表3‐9），这些都反映了模型良好的拟合特征。因此，该模型能够很好的反映GDP与税收收入总量之间的关系。
从表中可以看出，滞后1年和滞后2年的税收总量与GDP总量的相关系数显着。但是，VAR模型检验出的相关系数是在多种因素影响下的二者之间的相关关系，而Granger因果检验则剔除了其他因素的影响，是单纯的二者之间的因果关系，因此，在解读VAR模型的检验结果时，还应该考虑到Granger因果检验的结果。也就是说，需要将两个检验的结果结合起来，剔除受其他因素影响产生的相关关系，只保留单纯的因果关系结果。这样，参照Granger检验的结果，由于滞后1年的税收总量不是当年的GDP总量的Granger原因，我们就需要舍去滞后1年税收总量与当年GDP总量的相关系数，因为这种相关关系很可能是由于其他原因造成的。只有滞后2年的税收总量与当年GDP总量间是因果关系，也就是说，中国当年的GDP受到滞后2年的税收收入总量的影响，滞后2年的税收收入对于当年GDP的系数关系为1.1637，即今年的税收收入对后年的GDP的正影响为1.1637。另一方面，中国税收收入和滞后1-2年的GDP相关系数不显着，也就是说，今年的GDP变化并不影响到明年和后年的税收收入。
