具有无穷魅力的黄金分割
“黄金分割”被天文学家开普勒称为几何学两大瑰宝之一。“黄金分割”最早的发现者当数古希腊著名的数学家攸多克萨斯。他在研究比例时，发现了一个有趣的线段中外比性质，即把已知线段分成两部分，使其中的一部分是全部线段与另一部分的比例中项。关于线段中外比问题，攸多克萨斯得到如下结果：如果线段AB上有一点P，把线分成两部分AP、BP，且PB∶AP＝AP∶AB，则①P为线段AB的中外比点，AP的长为中外比数；②设AB＝1，则中外比数AP＝5-12＝0.618…。
黄金分割
自从攸多克萨斯发现中外比后，它的内在价值不断被人们在实践中发掘。中外比的最大神奇表现为它的美学价值上。人们通过测量发现维纳斯雕像的下身与上身的比近乎为0.618。可见，当年雕塑家就已知道了黄金分割的应用。
到了中世纪，中外比更被人们所敬仰，并且披上了神秘的外衣。
帕乔利称之为“神圣比例”；天文学家开普勒称之为“神圣分割”；画家达·芬奇称之为“黄金分割”。
在数学中，还有一种黄金矩形（宽长比为黄金数）。它是各种矩形中看起来最顺眼，也是最具美感的一种。国旗就是这种矩形。黄金矩形还有一种奇特而美妙的性质：可以分成一个正方形和另外一个小黄金矩形。
几何学的璀璨明珠——勾股定理
著名数学家、天文学家开普勒曾把毕达哥拉斯定理和黄金分割喻为几何的两大宝藏。毕达哥拉斯定理即为勾股定理。它是由古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯最早发现和证明的。
勾股定理的发现还有一个动人的故事。有一天，毕达哥拉斯到朋友家做客，朋友家的地面是用许多黑白相间的全等的等腰直角三角形砖铺砌而成的。这个美妙的图形深深吸引了他，他聚精会神地看着地面。忽然，他发现直角三角形的两边长的平方和恰好等于斜边的平方。这个惊人的发现使他欣喜若狂，他认为这是神的赐予，于是他杀了100头牛作为报答。因此又有人把勾股定理称为“百牛定理”。
勾股定理像一颗璀璨的明珠，使不少人为之倾倒。现有的证法至少有370种，使它成为世界上证法最多的定理。
勾股定理在我国数学史上也有光辉的一页。夏禹治水时就已用到勾股术，开创了世界上最早使用勾股定理的先河。我国最早的数学著作《骨髀算经》中记载了“勾三、股四、弦五”的问题。
数学的“圣经”——《几何原本》
《几何原本》古希腊数学家欧几里得一生最大的功绩就是完成了《几何原本》（简称《原本》）这一数学史上的巨著。《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑。除《圣经》之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《原本》相比。2000多年来，它一直支配着几何的教学，因此，有人称《原本》为数学的《圣经》。
《原本》全书共13卷。第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、定理、公理、公式等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比，球体积的比等于半径立方的比等；第13卷，正多面体。
《原本》于明朝传入我国。当时意大利的传教士利玛窦与中国的徐光启合译了《原本》的前6卷，于1607年出版，定名为《几何原本》。《原本》的最后译完应归于清代的中国数学家李善兰与英国的伟烈亚力，他们合译了《原本》的后7卷。《几何原本》在中国出版后，很快就传播开来。
“下金蛋的母鸡”——费马大定理
法国数学家费马在数论方面有突出的成就，被誉为“数论之父”。费马闻名于世，是与“费马大定理”是分不开的。
约在1637年，费马在读丢番图的《算术》时，对其中的一个命题“将一个平方数分为两个平方数；将一个四次方数分解为两个四次方数；或者一般地将一个高于二次幂的任何乘幂分成两个同次幂之和？”他的回答是否定的。这个定理，即当整数n＞2时，关于x、y、z的方程xn+yn=zn均无整数解，这就是所谓的费马大定理。费马说：“我想出了这个论断的一个真正奇妙的证明，只是这里的空白狭小，不容我把它写下来。”
费马对于这个定理的“奇妙证明”，始终没有找到。但这个定理吸引了许许多多的数学家，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。在证明费马大定理的过程中产生了许多数学成果，拓宽了数学的领域，促进了数学的发展。因此德国的数学家希尔伯特说：“这是一只下金蛋的母鸡。”
中国剩余定理——孙子定理
《孙子算经》我国古代的重要数学著作《孙子算经》中有一问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”这段话译成白话是：“有一堆东西不知有多少个，如果三个三个数，剩二个，如果五个五个数，剩三个，如果七个七个数剩二个。问这堆东西有多少？答案是二十三个。”这个问题的解决，叫“孙子定理”，国外称为“中国剩余定理”。
这个问题的解法明朝程大位写成一首诗是：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这首诗里隐含着70、21、15、105这4个数，只要牢记这4个数，解答此题便轻而易举了。在《孙子算经》中详细介绍了这种奇妙算法：凡是每3个一数最后余1的，就取1个70，最后余2的，便取2个70；每5个一数最后余1的，就取1个21，余2的，就取2个21；每7个一数最后余1的，就取1个15，余2的取2个15。把这些数加起来，如果得数比105大，减去105，所得的两组数便是众多答案中最小的一个和第二最小的。比如，上题是取2个70，取3个21，取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15＝233，比105大，减去105，再减105，得23。只此寥寥几步，便解了此题，可谓神奇。
取得两项世界冠军的《九章算术》
《九章算术》《九章算术》是我国古代数学园地中的一朵奇葩。它的内容之丰富，水平之高，影响之大，堪称中国古代数学著作之最，可与欧几里得的《几何原本》媲美。现在中小学课程中的分数四则、比例、面积和体积、开平方、开立方、正负数、一次方程组、二次方程、勾股定理，以及各种应用问题的解法内容，在《九章算术》里，都有深入的研究。
《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，后经许多人的增补，形成了现在内容。全书共九章，内容如下：（1）方田（分数四则算法，平面形面积求法）；（2）粟米（粮食交易问题，含有比例算法）；（3）衰分（比例分配问题）；（4）少广（面积问题的逆运算，含有开平方和开立方的方法）；（5）商功（工程问题和立方体形体积求法）；（6）均输（粮食管理运输问题）；（7）盈不足（解决盈亏问题的算术方法）；（8）方程（一次方程组解法及含有正负数加减法则）；（9）勾股（勾股定理及简单测量问题）。
《九章算术》里的方程组的解法与正负数加减运算的法则，是我国古代在数学领域中取得的两项世界冠军。前一个问题比欧洲早了1500多年，后一个问题比欧洲早1200多年。
