在经济活动中排队现象随处可见，产品或服务对象进入生产系统一般都需要按某种规定排队，等待制造或服务。在工厂内在制品需要等待加工，等待不是发生在制造现场，就是在库内；而服务业的等待必定在现场，哪怕是采用预约服务的，到最后一刻也还是要到现场排队等候服务。排队产生的原因往往是因为生产能力与需求之间存在不一致性，能力不足则肯定会导致排队，即使能力在总体上大于需求，但由于对能力的需求在时间上存在随机性，在某段时间内也会出现能力不足的情况，队伍随之形成了，随机服务系统也可称作排队系统。如何设计生产系统的能力，既能满足需求，又能保持系统较高的利用率成为运营管理的一项重要任务。
第一节 排队系统
排队系统由三部分组成：（1）顾客源到达，称为输入过程；（2）等待队列，即顾客进入服务系统后排队；（3）服务设施，提供服务的地方。由于顾客接受服务后离开系统不受任何制约，不消耗系统资源可以不予考虑。
排队系统理论要解决的问题是顾客是按照怎样的规律到达服务系统的，进入服务系统后按怎样的规定排队等待服务，服务设施的服务过程是怎样的，以何种服务规律完成服务。在服务过程中，服务方与被服务方所追求的目标往往是不一致的。服务提供方较多考虑自己的服务能力的利用率，以尽可能降低成本，最有效的措施是保持很高的设施利用率，这就要求一定的队伍长度；而被服务者希望到达服务系统后能够立即得到服务，不希望队伍太长，这就要求服务设施多一些，但这会导致服务设施利用率很低。双方之间的目标发生冲突，需要排队理论来解决这个问题，使双方都满意。从理论上说存在服务方的成本曲线和被服务方的成本曲线，两者之和为排队系统的总成本曲线，是一根下凸线。但实际上由于被服务方的分散性和差异性，它的成本曲线是很难找到的，实际上也没有必要找到它，只要达到双方满意就行。排队系统三个组成部分的特性对建立排队系统的数学模型的影响很大，所以有必要研究其特性。
一、输入过程
由于社会经济活动的多样性，导致了形形色色的排队系统形式，无论是输入过程，还是排队规则、服务过程都呈现出千姿百态，为了研究方便有必要加以分析归类。
1.顾客到达
顾客到达有很多不同情形，不同情形对模型推导工作影响很大，在有些情形下目前还无法得到理想的模型。
（1）顾客源。顾客源指来到某服务系统的客源，主要从有限还是无限两方面考虑，在人类经济活动中顾客都是有限的，怎么会有无限大的顾客群体呢？这主要从研究方法需要而作的假设，在某种条件下认为是无限的，在无限条件下得到的公式更简捷，更便于应用，而对结果的准确性影响又不大。
（2）顾客到达方式。顾客到达可能是一个一个单独的，也可能是成批的。例如到医院就诊通常是单个到达，但如发生群体事件可能成批到达。
（3）顾客相继到达的间隔时间。大多数间隔时间是随机的，如到医院就诊，去银行办事；但也有确定性的，如汽车总装厂采取看板车运输系统，零部件企业按规定间隔时间把零部件运到总装配线。
（4）顾客到达相互独立。前到达的顾客与后到达的顾客没有影响，在很多排队系统中都符合这一条件。如到医院看病的病人到医院就诊是相互独立的，互相之间何时到达医院是没有关联的。
（5）输入过程是平稳的。这是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。在现实中只要顾客是人，这条假设很勉强。经验告诉我们，无论是到医院看病，还是到银行办事都有高峰时间，即某时段顾客到达的量很高，有些时段人很少，规律性很强，是非平稳的。由于非平稳情形数学处理很难，所以一般都作平稳处理，结果当然与客观事实有差异。
2.顾客到达分布
上面已假定输入过程是平稳的，大多数的排队现象顾客到达过程是随机的，我们感兴趣的是在每个确定的时段t内达到状个人的概率是多少。人们研究发现许多输入系统的顾客到达分布服从泊松分布，在任何1ｈ的时间间隔内有8位顾客到达的概率是11.26%。
请注意这里假定的是平稳过程，否则是不成立的。
泊松分布是一类离散型分布，状必须是整数。
当然也可以从前后两顾客到达的时间间隔考察顾客到达分布，如果从单位时间间隔内到达顾客数服从的是泊松分布，则从前后顾客到达间隔时间看此过程则是负指数分布，其概率密度函数为：
f（t）＝λｅ－λt
式中λ代表单位时间内到达的顾客数。
指数分布与泊松分布可以互相推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，都为λ。负指数分布期望值为1／λ，方差为1／λ2。
泊松分布虽然是离散的，当λ很大时曲线变得平滑起来。
3.顾客到达其他特征及归类
经验告诉我们，顾客到达服务系统后，未必一定进去等候，发现队伍很长就走了，也有的已经在队伍中等待了，因服务速度慢或其他原因也会中途离开。到达方式也有可控与否的差别。如用预约方法控制到达数量与时间，也可用价格杠杆调节顾客的到达时间等。
二、队列与规则
顾客进入服务系统后需要排队等候服务，有队列个数、排队规则和队伍长度三个问题需要研究，队列数量往往与服务台数量有关，如果只有一个服务台则只需排一列就行了，如服务台有多个，则队列数可以增加。队伍长度有有限与无限之分，到医院看专家门诊有数量限制，而普通门诊无数量限制（但有时间限制，可作无限处理）。排队规则较复杂，一般遵循先到先服务规则（简记为FCFS），但也有很多优先规则，如医院中的老人优先，银行中的贵宾卡优先等。
三、服务设施
服务设施的结构设计将决定顾客接受服务的过程。根据服务内容的复杂程度与客流量的多少可以设计成结构差异很大的服务设施组成形式。
